处理错误样例

相切问题

对于常规的曲线求交，通过一阶泰勒展开可以求得交点；但是对于相切的曲线，则无法使用一阶泰勒展开求出切点。

相切时如果使用常规的一阶泰勒展开来做，迭代过程中会出现雅可比矩阵奇异问题导致交点精度无法继续提升，即无法求出满足容差范围要求的交点坐标。

关于分式插值近似迭代

$X(t,s)=x_1(t)-x_2(s)$

$Y(t,s)=y_1(t)-y_2(s)$

牛顿法（一阶泰勒展开，二元泰勒即$x_i(t)$和$y_i(t)$各自的泰勒展开）

$X(t,s) \approx X(t_0,s_0)+X_t’(t_0,s_0)(t-t_0)+X_s’(t_0,s_0)(s-s_0)=0$

$Y(t,s)\approx Y(t_0,s_0)+Y_t’(t_0,s_0)(t-t_0)+Y_s’(t_0,s_0)(s-s_0)=0$

故尝试使用分式插值近似的方式迭代求精（分式有理近似、多点插值）。
$$
X(t,s)\approx \frac {a + b(t-t_0)+c(s-s_0)}{1+A(t-t_0)+B(s-s_0)+C(t-t_0)(s-s_0)}=0
$$

经过实验尝试，选取的六个插值点为：$(t_0, s_0)$，$(t_0 + \delta, s_0 - \delta)$，$(t_0, s_0 - \delta)$，$(t_0, s_0 + \delta)$，$(t_0 - \delta, s_0)$，$(t_0 + \delta, s_0)$，关于插值点的$\delta$的选择，$\delta=1e-6$。

（共有9个候选插值点）

$(t_0 - \delta, s_0 \pm \delta),\ (t_0 + \delta, s_0 \pm \delta),\ (t_0, s_0 \pm \delta),\ (t_0 \pm \delta, s_0),(t_0 , s_0 )$

通过插值点求出$6$个系数$a,b,c,A,B,C$，
$$
\frac {a + b(t-t_0)+c(s-s_0)}{1+A(t-t_0)+B(s-s_0)+C(t-t_0)(s-s_0)}=0
$$
上述分式为$0$即分子式为$0$，故对于$x$和$y$分别得到下式：
$$
a_X + b_X(t - t_0) + c_X(s - s_0) = 0
$$
$$
a_Y + b_Y(t - t_0) + c_Y(s - s_0) = 0
$$
将方程组改写为矩阵形式，于是迭代的更新公式为：