参考博客：https://zhuanlan.zhihu.com/p/578591315
官方中文手册：https://www.maplesoft.com.cn/support/documentation/PDF/maple2020/Maple2020%E4%B8%AD%E6%96%87%E7%94%A8%E6%88%B7%E6%89%8B%E5%86%8C.pdf

collect，提取因式

例一：
$$
f := a \ln(x) - \ln(x) x - x
$$

collect(f, ln(x))

$$
(a - x) \ln(x) - x
$$

例二：
$$
g := \text{int}(x^2 (\exp(x) + \exp(-x)), x)
$$

即
$$
g := -\frac{x^2}{e^x} - \frac{2x}{e^x} - \frac{2}{e^x} + x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x
$$

collect(g, exp(x))

$$
(x^2 - 2x + 2)e^x + \frac{2x^2 + 2x + 2}{e^x}
$$

例三：
$$
f := a^3 x - x + a^3 + a
$$

$$
f := a^3 x + a^3 + a - x
$$

collect(f, x)

$$
(a^3 - 1)x + a^3 + a
$$

collect(f, x, factor)

$$
(a - 1)(a^2 + a + 1)x + a(a^2 + 1)
$$

  1. 合并同类项：将表达式 f 中所有关于变量 x 的项合并在一起。这意味着它会将所有包含 x 的项放在一起，并将常数项放在一起。
  2. 因式分解：在合并同类项之后，factor 选项会进一步对合并后的表达式进行因式分解。因式分解是将一个多项式表示为几个多项式的乘积的过程。

combine

combine(abs(x^2) abs(y + 1), abs)

$$
|x|^2|y + 1|
$$

f1 := sqrt(3) sqrt(2) + sqrt(y) sqrt(x^2 - 1)

$$
f1 := \sqrt{3}\sqrt{2} + \sqrt{y}\sqrt{x^2 - 1}
$$

combine(f1, radical)

$$
\sqrt{6} + \sqrt{y}\sqrt{x^2 - 1}
$$

combine(f1, radical, symbolic)

$$
\sqrt{6} + \sqrt{y(x^2 - 1)}
$$

combine(4 sin(x)^3, trig)

$$
-\sin(3x) + 3\sin(x)
$$

combine((exp(x))^2 exp(y), exp)

$$
e^{2x + y}
$$

combine(exp(sin(a) cos(b)) exp(cos(a) sin(b)), [trig, exp])

$$
e^{\sin(a + b)}
$$

combine([2 sin(x) cos(x), 2 cos(x)^2 - 1], trig)

$$
[\sin(2x), \cos(2x)]
$$

combine 可以积化和差

combine(sin(x)*sin(y))

$$
\frac{\cos(x - y)}{2} - \frac{\cos(x + y)}{2}
$$

mode 功能
abs 合并多个绝对值为一个整体绝对值
radical 合并多个根号表达式，如 $\sqrt{a}\sqrt{b} \to \sqrt{ab}$
symbolic 启用更激进的代数变换（假设符号满足一些约束）
trig 应用三角恒等式，进行合并或化简
exp 合并指数函数，例如 $e^x e^y = e^{x + y}$
[trig, exp] 依次应用三角与指数合并规则

factor 分解因式，变成连乘

factor(6 x^2 + 18 x - 24)

$$
6(x + 4)(x - 1)
$$

factor(6)

$$
6
$$

ifactor(6)

$$
(2)(3)
$$

factor($(x^3 - y^3)/(x^4 - y^4)$)

$$
\frac{x^2 + xy + y^2}{(x + y)(x^2 + y^2)}
$$

factor($1/(x^2 - 1) + 1/(x^2 + 3 x + 2)$)

$$
\frac{2x + 1}{(x + 2)(x + 1)(x - 1)}
$$

factor($x^3 + 5$)

$$
x^3 + 5
$$

也可以指定因子，例如：

factor($x^3 + 5$, $5^{1/3}$)

$$
(5^{2/3} - 5^{1/3}x + x^2)(x + 5^{1/3})
$$

factor($x^3 + 5$, {$1/5^{1/3}, (-3)^{1/2}$})

$$
-\frac{(5^{1/3}\sqrt{-3} + 5^{1/3} - 2x)(5^{1/3}\sqrt{3} + 5^{1/3} + 2x)}{4}
$$

指定参数 含义 分解效果
factor(expr) 默认：只在实数或有理数域中分解 给出最多实根或不可约因子形式
factor(expr, 1/3) 允许立方根（扩展代数域） 使用 $\sqrt[3]{5}$ 等因子分解
factor(expr, {1/3, √-3}) 允许立方根和虚数参与 给出完全复数因式分解结果

expand 展开：乘法到加减

expand((x + 1) (x + 2))

$$
x^2 + 3x + 2
$$

expand((x + 1) / (x + 2))

$$
\frac{x}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}
$$

expand(1 / ((x + 1) x))

$$
\frac{1}{(x + 1)x}
$$

expand(sin(x + y)) 和差化积

$$
\sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)
$$

expand(cos(2 x))

$$
2\cos(x)^2 - 1
$$

expand(exp(a + ln(b)))

$$
e^{a}b
$$

expand((x + 1) (y + z))

$$
xy + xz + y + z
$$

不完全展开

expand((x + 1) (y + z), x + 1)

$$
(x + 1)y + (x + 1)z
$$

ee := (a + b) z + sin(a + b) + exp(a + b)
默认情况下，乘积和函数会被展开。
expand(ee)

$$
za + zb + \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) + e^{a}e^{b}
$$

避免展开 sin(a + b)

expand(ee, sin(a + b))

$$
za + zb + \sin(a + b) + e^{a}e^{b}
$$

algsubs, subs 代换

subs(x=2, x^2 + x + 1)

$$
7
$$

subs(x=r^(1/3), 3 x ln(x^2))

$$
3r^{1/3}\ln(r)
$$

subs(sin(x)=y, sin(x)/sqrt(1 - sin(x)^2))

$$
\frac{y}{\sqrt{1 - y^2}}
$$

以下示例展示了 subs 和 algsubs 之间的区别，其中 algsubs 命令将子表达式代入到表达式中。

subs(a + b = y, (a + b + c)^2)

$$
(a + b + c)^2
$$

algsubs(a + b = y, (a + b + c)^2)

$$
(y + c)^2
$$

subs(a^2 = x, a^3)

$$
a^3
$$

algsubs(a^2 = y, a^3)

$$
ya
$$

simplify

simplify 可以无脑使用的化简同时可以嵌套前面的化简表达式。
简单示例

simplify(1/(4^2 + 3))

$$
5
$$

化简三角表达式

e := cos(x)^5 + sin(x)^4 + 2 cos(x)^2 - 2 sin(x)^2 - cos(2 x) :
simplify(e)

$$
\cos(x)^4(\cos(x) + 1)
$$

化简指数和对数

simplify(exp(a + ln(b exp(c))))

$$
b e^{a}
$$

控制化简规则

simplify(sin(x)^2 + ln(2 x) + cos(x)^2)

$$
\ln(2) + \ln(x) + 1
$$

simplify(sin(x)^2 + ln(2 x) + cos(x)^2, trig)

$$
\ln(2x) + 1
$$

simplify(sin(x)^2 + ln(2 x) + cos(x)^2, ln)

$$
\sin(x)^2 + \ln(2) + \ln(x) + \cos(x)^2
$$